mesurons notre planète
Recréez la célèbre expérience d'Ératosthène !
Pouvez-vous croire qu’il y a plus de deux mille ans, un homme était tellement curieux et intrigué par le comportement des ombres qu’il a réussi à mesurer la circonférence de notre planète?! Cette page vous donnera tout ce dont vous avez besoin pour réaliser ces mêmes expériences avec vos élèves.
Nous avons créé des vidéos qui expliquent tout en termes simples et visuels. Vous pouvez également les utiliser en classe! Vous pouvez consulter la liste de lecture complète ici ou trouver chaque vidéo dans sa section ci-dessous.
Des vidéos explicatives seront mises à votre disposition au cours des prochaines semaines.
Démarrez!
Vous pouvez utiliser les ombres projetées par le Soleil à l’équinoxe pour recréer l'expérience de renom d’Ératosthène visant à mesurer la circonférence de la Terre. Avec seulement quelques bâtons et un ruban à mesurer, cette expérience facile à reproduire vous offre l’occasion de combiner plusieurs leçons afin de créer une expérience d’apprentissage interdisciplinaire touchant à l’astronomie, aux mathématiques, à la géographie et à l’histoire! (Ne vous inquiétez pas, si les mathématiques ne sont pas un sujet dans lequel vous souhaitez trop vous approfondir, nous avons conçu une calculatrice simple que vous pouvez utiliser à la place.)
Vous pourriez envisager de participer à l’Expérience internationale d’Ératosthène pour calculer la circonférence de la Terre, qui jumellera votre classe avec une autre école quelque part dans le monde!
Contexte historique
Tout d’abord, faisons connaissance avec le cerveau derrière cette expérience! Ératosthène était un mathématicien, astronome, géographe grec et directeur de la bibliothèque d’Alexandrie. Il aimait combiner des observations minutieuses avec un raisonnement ingénieux pour résoudre des problèmes qui semblaient impossibles. Vers 240 av. J.-C., dans l’Égypte ptolémaïque, il a mesuré la circonférence de la Terre avec une précision de 95 % — ce qui n’est pas rien!
En lisant à la bibliothèque, Ératosthène a découvert un récit décrivant qu’aucune ombre n’était projetée au fond des puits à midi solaire (mi-journée), lors du solstice d’été à Syène. Il a constaté que ce n’était pas le cas à Alexandrie, où des ombres étaient projetées à la même heure locale. Grâce à ses connaissances en géométrie, il a mesuré l'angle entre les ombres et les rayons du soleil à Alexandrie, qui était d’environ 7,2 degrés à cet instant précis.
Crédit: ASTROLab du Mont-Mégantic
En suivant sa curiosité, Ératosthène a non seulement correctement identifié la courbure de la Terre, mais il a également formulé une méthode permettant d’extrapoler la circonférence de la planète entière à partir de ses simples mesures. Selon son raisonnement: si, à Alexandrie, située à une certaine distance au nord de Syène, un pilier projette une ombre formant un angle d’environ 7,2 degrés — soit environ 1/50 de 360 degrés, l’angle d’un cercle complet — alors la distance entre les deux villes doit également représenter 1/50 de la circonférence de la Terre sphérique. En multipliant cette distance par 50, on obtient donc la circonférence de la Terre.
À cette époque, des mesureurs professionnels (des bématistes) parcouraient les routes à pied pour mesurer les distances entre les villes. Grâce à eux, Ératosthène avait accès au nombre dont il avait besoin: la distance entre Alexandrie et Syène, exprimée en stades, une unité aujourd’hui désuète. Ses calculs ont donné une circonférence terrestre de 252 000 stades, ce qui correspond à une précision de 98 % par rapport à la valeur actuellement acceptée de la circonférence de la Terre (40 008 km en passant par les pôles). En utilisant la méthode remarquable d’Ératosthène et en ayant accès à des distances plus fiables entre les villes, vous et vos élèves pouvez calculer la circonférence de la Terre avec encore plus de précision!
Préparation
Participez à l’Expérience d’Ératosthène
Si vous souhaitez participer à l’initiative mondiale qui recrée cette expérience légendaire, les inscriptions à l’Expérience d’Ératosthène sont ouvertes deux fois par année, autour de chaque équinoxe. Pour participer, vous devrez créer un compte sur https://eratosthenes.ea.gr/ et suivre les instructions pour soumettre vos mesures. Ils organisent également un concours de photos à chaque équinoxe auquel vous pouvez participer avec votre classe!
Trouvez votre date et votre heure
Pour des raisons pratiques, il est plus facile de réaliser l’expérience à l’équinoxe. À cette période, le Soleil est directement au-dessus de l’équateur, ce qui simplifie les calculs. De plus, les équinoxes sont les dates retenues pour le programme international si vous souhaitez collaborer avec une autre école. Choisissez donc une date près du 21 mars ou du 22 septembre.
Lorsque le Soleil atteint son point le plus élevé dans le ciel pour la journée, on parle de midi solaire — mais ce n’est presque jamais à 12 h! Vous devrez donc déterminer l’heure du midi solaire pour votre emplacement (voir les ressources ci-dessous)
À l’équateur, la trajectoire du Soleil passe directement au zénith à l’équinoxe. Les objets n’y projettent donc aucune ombre (un détail important pour la suite). Saviez-vous toutefois que le Soleil ne passe jamais directement au zénith au Canada? Chez nous, sa trajectoire est toujours légèrement inclinée vers le sud. Ainsi, même lorsque le Soleil est à son point le plus élevé dans le ciel, les objets projettent toujours une ombre, dirigée vers le nord.
À l’équinoxe, lorsque le Soleil atteint son point le plus élevé dans le ciel, la longueur des ombres dépend uniquement de la hauteur du Soleil. Remarque: si vous mesurez l’ombre plus tôt ou plus tard dans la journée, elle sera plus longue. En effet, en raison de la rotation de la Terre, le Soleil semble monter dans le ciel le matin, puis redescendre en après-midi.
Voici comment trouver le meilleur moment pour réaliser votre expérience:
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Choisissez une date: Idéalement, vous devriez réaliser votre expérience le jour de l’équinoxe, mais quelques jours avant ou après n’auront pas beaucoup d’incidence sur les résultats.
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Vérifiez la météo: Vous devez également tenir compte de la météo: un ciel dégagé est préférable, mais tant que vous pouvez obtenir une lumière du Soleil suffisamment intense pour projeter une ombre mesurable, vous devriez pouvoir procéder!
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Trouvez le midi solaire: Le moment du midi solaire dépend de votre position dans le fuseau horaire, de l’application ou non de l’heure avancée et de quelques autres facteurs. Pour trouver votre midi solaire local, vous pouvez:
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Consulter des sites comme timeanddate.com ou NOAA Solar Calculator.
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Utiliser Stellarium Web pour votre emplacement et ajuster la date et l’heure jusqu’à ce que le Soleil soit exactement plein sud.
Rassemblez le matériel
Pour réaliser l’expérience, vous avez besoin d’:
Un « bâton », soit un objet droit et étroit que vous pouvez placer à la verticale, perpendiculairement au sol. Nous vous suggérons d’utiliser un mètre, un manche à balai, un tuyau ou un balai! Les objets courts, comme les stylos ou les crayons, peuvent être trop difficiles à mesurer avec précision. Idéalement, l’objet devrait pouvoir rester debout par lui-même, mais quelqu’un peut aussi le tenir pour le stabiliser.
Un ruban à mesurer ou une règle. Les unités de mesure n’ont pas d’importance, tant que vous utilisez la même unité de mesure de façon constante pour mesurer la longueur du bâton et celle de son ombre.
Optionnel: vous pourriez utiliser une feuille blanche ou une autre surface plane sur laquelle projeter l’ombre du bâton. Un sol bosselé ou irrégulier, comme une surface gazonnée, peut rendre l’observation et la mesure de l’ombre plus difficiles.
Prenez vos mesures
Commencez par mesurer la longueur de votre bâton. Ensuite, avant le midi solaire, placez le bâton à la verticale sur une surface plane. Si vous utilisez une feuille ou un autre écran pour l’ombre, installez-le également. Assurez-vous que le bâton reste droit et qu’il projette une ombre claire et mesurable.
Au midi solaire, mesurez la longueur de l’ombre, de la base du bâton jusqu’à l’extrémité de l’ombre, et notez votre mesure.
Vous êtes maintenant prêts à effectuer vos calculs. Consultez la section sur les mathématiques ci-dessous ou utilisez notre calculatrice pour simplifier la tâche pour vous et vos élèves.
MathématiQUEs
Nous plongeons ici dans la géométrie et les mathématiques qui se cachent derrière cette expérience. Si ce n’est pas un sujet que vous souhaitez approfondir, vous pouvez sauter cette section en utilisant notre calculatrice.
Notions de base en géométrie
Vous pourriez discuter de la géométrie de cette expérience avec vos élèves. Comme l’illustrent les schémas ci-dessous, les rayons lumineux parallèles provenant du Soleil sont responsables de la projection de l’ombre d’un bâton. En raison de la courbure de la Terre, un rayon lumineux qui ne produit aucune ombre à l’équateur projettera une ombre qui s’éloigne de l’équateur.
Puisque le faisceau de lumière solaire qui atteint la Terre est composé de rayons parallèles, vous pouvez utiliser cette expérience pour discuter des propriétés des droites parallèles.
Pourquoi mesurons-nous uniquement l’angle entre l’extrémité du bâton ou du pilier et le rayon du Soleil?
C’est parce que des droites parallèles créent des angles alternes-internes égaux. Cet angle au centre de la Terre représente une fraction d’un cercle complet. Pour Ératosthène, à Alexandrie, cet angle correspondait à 1/50 d’un cercle complet. Ainsi, la portion de la surface terrestre correspondant à cet angle — soit la distance entre Alexandrie et Syène — représentait également 1/50 de la circonférence de la Terre.
Vous pourriez profiter de cette occasion pour aborder d’autres notions liées aux cercles. Observeriez-vous le même phénomène si la Terre n’était pas sphérique? Non, car un faisceau de lumière solaire parallèle arrivant sur une Terre parfaitement plane produirait des ombres de même longueur dans deux villes situées à n’importe quel endroit de la planète!
Calculez: Mesurer la Terre
Étape1:
Trouvez la valeur de l’angle qui représente la hauteur du Soleil dans le ciel (l’angle θ dans le schéma ci-dessous).
Pour ce faire, nous projetons une ombre à l’aide d’un bâton vertical et comparons la longueur du bâton à celle de son ombre. Il existe différentes méthodes pour obtenir la valeur de cet angle, mais nous vous proposons ici de le faire en mesurant la longueur d’un bâton et celle de son ombre, comme expliqué ci-dessous. Vous pourriez également dessiner un triangle semblable à celui formé par le bâton et son ombre et mesurer l’angle à l’aide d’un rapporteur; utiliser une application qui permet de mesurer directement des angles avec la caméra; ou faire preuve de créativité!
Trouvez l’angle θ: Commencez par calculer le rapport entre la longueur du bâton et la longueur de son ombre. Cela nous donne la tangente de l’angle formé entre le bâton et les rayons du Soleil.
Longueur de l’ombre / Hauteur du bâton = S/H = tan(θ)
Pour obtenir l’angle, vous devez calculer la tangente inverse, ou arctan, de ce rapport à l’aide de l’équation suivante: θ = arctan(S/H)
Autrement dit, à l’aide d’une calculatrice, vous allez:
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Diviser la longueur de l’ombre par la hauteur du bâton.
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Appuyer sur le bouton arctan (ou tan⁻¹) de votre calculatrice.
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Voilà votre angle!
La valeur affichée par votre calculatrice correspond à l’angle dont nous avons besoin pour recréer l’expérience d’Ératosthène! Remarque: si le mode d’angle par défaut de votre calculatrice est réglé en radians, vous devrez peut-être modifier ce réglage pour utiliser les degrés, ou multiplier manuellement la réponse par 360/π afin d’obtenir l’angle en degrés.
Étape2: Trouvez cet angle pour un autre emplacement.
Pour réaliser l’expérience d’Ératosthène et calculer la circonférence de la Terre, vous devrez maintenant obtenir l’angle à partir d’un autre emplacement situé sur votre même longitude. C’est ici que vous pourriez vouloir vous associer à une autre école, ou encore supposer l’existence d’une école fictive à l’équateur, où l’angle serait simplement de zéro (comme à Syène au solstice, aucune ombre n’y serait projetée!).
Représentation visuelle des angles.
Un cercle complet est divisé en 360°. Cela signifie que tout angle mesuré au centre d’un cercle correspond à une distance proportionnelle le long de sa circonférence. Comme les deux villes se trouvent sur la même longitude, la distance entre elles suit la courbure de la Terre et représente une fraction de la circonférence totale de la Terre. La fraction de la circonférence terrestre (la distance) entre les deux villes correspond à la même fraction du cercle complet de 360° représentée par l’angle au centre de la Terre.
Étape 3:
Calculez la différence entre l’angle mesuré à votre école (école A) et l’angle mesuré dans une école partenaire située sur votre longitude (école B), au même moment.
Différence entre les angles = Angle à l’école A − Angle à l’école B
Si les deux écoles se trouvent dans le même hémisphère, soustrayez le plus petit angle du plus grand. La direction (nord ou sud) peut faire en sorte que le résultat soit positif ou négatif, mais pour ce calcul, vous n’avez besoin que de la valeur de la différence.
Si les deux écoles se trouvent dans des hémisphères opposés, additionnez les deux angles pour obtenir la différence totale entre les emplacements.
Ératosthène a utilisé une approche similaire en comparant Alexandrie et Syène. Au midi solaire à Syène, le Soleil se trouvait directement au-dessus de la ville, ce qui signifie que l’angle de l’ombre était d’environ 0°. Ainsi, la différence entre les deux angles correspondait simplement à l’angle mesuré à Alexandrie. Vous pouvez également utiliser 0 degré, comme si en partenariat avec une école fictive à l’équateur!
Étape 4:
Trouvez la distance entre votre école et l’autre école (ou l’équateur).
Il existe des outils en ligne qui permettent de mesurer la distance longitudinale entre des endroits situés à la surface de la Terre. Idéalement, les deux points se trouvent sur la même longitude.
C’est une excellente occasion d’intégrer la géographie, d’explorer des outils en ligne et d’en apprendre davantage sur notre planète en même temps!
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Google Earth: C’est notre outil de mesure privilégié. À l’aide de l’icône de règle dans la barre d’outils (en haut), cliquez sur l’emplacement de votre école, puis trouvez votre deuxième emplacement. Voici un court tutoriel.
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National Geographic MapMaker: Cet outil vous permet de mesurer des distances à l’aide d’une carte plane. Utilisez l’option de mesure dans la barre d’outils (en bas), puis sélectionnez les deux points directement sur la carte. Vous pouvez effectuer un zoom avant pour vous aider. Pour l’équateur, choisissez une latitude de 0 avec une longitude aussi proche que possible de la vôtre.
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NOAA Calculator: Entrez simplement la latitude et la longitude de vos deux points. Pour l’équateur, utilisez une latitude de 0 et la même longitude que votre école. Cette option est la plus simple, mais elle ne donne pas une vue d’ensemble visuelle de ce que les élèves mesurent. Elle peut également être utilisée pour vérifier les autres valeurs mesurées sur la carte.
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Étape 5:
Maintenant que vous avez toutes les valeurs, vous pouvez effectuer le dernier calcul et obtenir le résultat que vous attendiez: la circonférence de notre planète!
Circonférence de la Terre = (360 / Différence entre les angles) × (Distance entre l’école A et l’école B)
Quel résultat avez-vous obtenu pour la circonférence de la Terre? Avez-vous obtenu une valeur proche de la circonférence réelle de 40 008 km?
Nous utilisons la circonférence polaire de la Terre (40 008 km) comme référence plutôt que sa circonférence équatoriale. Puisque cette expérience mesure une distance le long d’une ligne de longitude, elle correspond à la circonférence polaire.
Saviez-vous que la Terre n’est pas une sphère parfaite? Elle est en fait légèrement « écrasée » aux pôles. Ces deux mesures sont donc différentes. La circonférence polaire est environ 67 km plus courte que la circonférence équatoriale.
Discussion sur les calculs
L’expérience d’Ératosthène peut être utilisée en classe pour expliquer ou introduire les rapports, particulièrement les rapports trigonométriques, ainsi que les fonctions trigonométriques inverses. Pour les élèves qui n’ont pas encore abordé la trigonométrie, vous pouvez profiter de cette occasion pour discuter des fractions et simplement utiliser une calculatrice de votre côté afin de calculer la tangente inverse pour l’ensemble de la classe. C’est également une bonne occasion de discuter des méthodes de mesure et des conversions d’unités — si vous ne mesurez pas le bâton et l’ombre dans la même unité (par exemple, en centimètres ou en pouces), vous n’obtiendrez pas la bonne réponse! De même, si la valeur fournie par votre calculatrice est en radians, elle ne représentera pas une fraction de 360, mais plutôt une fraction de π! Cela dit, la distance entre l’école A et l’école B peut être exprimée dans l’unité de votre choix, car aucune autre quantité physique dans l’équation de cette étape ne pourrait entraîner une incompatibilité d’unités. La réponse pour la circonférence sera exprimée dans cette même unité. Ératosthène utilisait des stades, mais nous pouvons utiliser des kilomètres, des mètres ou même des milles, selon ce qui est le plus accessible et le plus pertinent pour la classe.
Foire aux questions
Présentations prêtes à l’emploi
Nous avons créé des présentations pour faciliter le partage de ces thèmes avec vos élèves de façon interactive et engageante. Téléchargez simplement les Google Slides (dans le format de votre choix), puis personnalisez-les selon votre style d’enseignement et vos objectifs.
Ressources et IMages
Voici quelques ressources pour vous aider à planifier cette expérience avec votre classe:
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Explication de l’expérience d’Ératosthène par Carl Sagan (vidéo en anglais de 6 min 41 s — excellente à montrer à vos élèves!)
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Notre calculatrice Google Sheets pour simplifier les calculs
Vous pouvez télécharger ci-dessous toutes nos images relatives à ces activités et les utiliser à votre guise. Si vous partagez vos propres créations, merci de mentionner À la découverte de l'univers et d'inclure un lien vers cette page web.
SOUTIEN
Nous pensons que l'expérience d'Ératosthène est un excellent moyen de combiner histoire, mathématiques et sciences dans votre classe. Après avoir lu ces étapes, nous espérons qu'elle vous inspirera pour vos activités interdisciplinaires.
Si vous rencontrez des difficultés ou avez besoin de conseils pour une activité en particulier, n’hésitez pas à contacter notre équipe; nous vous répondrons dès que possible!